Lagrange 插值多项式 (或称 Lagrange 多项式)

Lagrange polynomial (interpolation polynomial in the Lagrange form )

是指经过 $n$ 个点的阶小于 $n$ 的如下多项式 $P(x)$. （这 $n$ 个点是 $\{(x_i,y_i)\mid y_i=f(x_i), i=1,2\ldots, n\}$）

\[
P(x):=\sum_{j=1}^{n}P_j(x),
\]

其中

\[
P_j(x)=y_j\prod_{k=1,k\neq j}^{n}\frac{x-x_k}{x_j-x_k},
\]

确切地,

\[
\begin{split}
P(x)=&\frac{(x-x_2)(x-x_3)\cdots (x-x_n)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)\cdots (x_1-x_n)}y_1\\
&+\frac{(x-x_1)(x-x_3)\cdots (x-x_n)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)\cdots (x_2-x_n)}y_2\\
&+\cdots +\frac{(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_{n-1})}{(x_n-x_1)(x_n-x_2)\cdots (x_n-x_{n-1})}y_n.
\end{split}
\]

矩阵为参数的 Lagrange 多项式

设 $A$ 是可对角化矩阵, 有 $k$ 个不同的特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$. $A$ 的 $k$ 个 Frobenius covariant(协变量) 是指下面的 $k$ 个矩阵:

\[
A_i:=\prod_{j=1,j\neq i}^{k}\frac{1}{\lambda_i-\lambda_j}(A-\lambda_j I),\quad i=1,2,\ldots, k.
\]

此本质上就是 Lagrange 插值多项式, 只不过 $x$ 换成了矩阵 $A$.